复变函数与积分变换

基础计算

$\displaystyle sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \ , \ cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

$\displaystyle lnz = ln|z| + iarg z \ , \ Lnz = lnz+i2k\pi$

$\displaystyle z^{1/n}=r^{1/n}[cos(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi)) + isin(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi))]$   k=0,1..=n-1

$\displaystyle z^a=e^{aLnz}$

解析与调和

(holomorphic and harmonic)

Cauchy–Riemann equations: $\displaystyle f(z)=u(x,y)+v(x,y) \ is \ holomorphic\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\end{cases} \Leftarrow$ (u,v is differentiable)

Harmonic function: $\displaystyle u(x,y) \ is \ harmonic \Leftrightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \Leftarrow$ (x, y is real, u is twice continuously differentiable function)

留数

奇点类型：$\displaystyle \lim_{z\to z_0} f(z) = \begin{cases} \text{有限值} & \text{可去奇点} \\ \infty & \text{极点} \\ \text{不存在} & \text{本性奇点}\end{cases}$

留数定理：$\displaystyle \oint_{C}{f(z)dz} = 2\pi i\sum Res[f(z),z_k]$；如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则 f(z)在所有各奇点(包括 ∞ 点)的留数总和必等于零。

留数计算：$\displaystyle Res[f(z),z_0] = \begin{cases} 0 & \text{可去奇点} \\ \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) & \text{一级极点} \\ \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} & \text{该值存在且不为}0;\text{一级极点};f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} \\ \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^{m}f(z)] & m\text{级极点} \\ \text{洛朗展开} & \text{本性奇点} \end{cases}$

无穷远点的留数：$\displaystyle Res[f(z),\infty] = -Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]$

解定积分

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}R(cos\theta,sin\theta)d\theta = \oint_{|z|=1}R(\frac{z^2+1}{2z},\frac{z^2-1}{2iz})\frac{1}{iz}dz$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}dz = 2\pi i\sum Res[\frac{P(z)}{Q(z)},z_k] \ \ \Leftarrow \ \ z_k$ 为上半平面奇点，Q(z) 比 P(z) 高至少两次

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{i\alpha z}dz = 2\pi i\sum Res[\frac{P(z)}{Q(z)}e^{i\alpha z},z_k] \ \ \ \Leftarrow \ \ z_k$ 为上半平面奇点，Q(z) 比 P(z) 高至少一次，P(x),Q(x) 为有理函数

儒歇定理

Fourier transform

Fourier transform: $\displaystyle F(\omega)=\mathscr{F}(f(t))=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

inverse Fourier transform: $\displaystyle f(t)=\mathscr{F}^{-1}(F(\omega))=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

Dirichlet integral: $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{sin\omega}{\omega}d\omega=\frac{\pi}{2}$

δ 函数筛选性质: $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0) \ \ \Leftarrow \ f(t)\text{在}t_0\text{连续}$

位移性质：$\displaystyle \begin{cases}\mathscr{F}(f(t\pm a))=e^{\pm i\omega a}F(\omega)\\ \mathscr{F}(e^{\pm i\omega_0 t}f(t))=F(\omega\mp\omega_0)\end{cases}$

微分性质：$\displaystyle \mathscr{F}(f'(t))=i\omega F(\omega) \ \Leftarrow\ lim_{|t| \to +\infty}f(t)=0$

像函数的微分性质：$\displaystyle \mathscr{F}(t^nf(t))=i^nF^{(n)}(\omega)$

积分性质：$\displaystyle \mathscr{F}(\int_{-\infty}^t f(t)dt)=\frac{1}{i\omega}F(\omega) \ \Leftarrow\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=0$

对称性质：$\displaystyle \mathscr{F}(F(t))=2\pi f(-\omega)$

相似性质：$\displaystyle \mathscr{F}(f(at))=\frac{1}{|a|}F(\omega/a)$

翻转性质：$\displaystyle \mathscr{F}(f(-t))=F(-\omega)$

Laplace transform

Laplace transform: $\displaystyle F(s)=\mathscr{L}(f(t))=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$

信号与系统中，积分下限可从 -∞ 开始

线性性质，收敛域至少为两个收敛域的交

时域平移性质：$\displaystyle \mathscr{L}(x(t-t_0))=e^{-st_0}X(s)$，收敛域不变

s 域平移性质：$\displaystyle \mathscr{L}(e^{at}x(t))=X(s-a)$，收敛域 R+Re(a)

尺度变换：$\displaystyle \mathscr{L}(f(at))=\frac{1}{|a|}F(s/a)$，收敛域 aR

时域微分性质（单边）：$\displaystyle \mathscr{L}(f'(t))=sF(s)-f(0_-)$

推论: $\displaystyle \mathscr{L}(f^{(n)}(t))=s^nF(s)-s^{(n-1)}f(0)-s^{(n-2)}f'(0)-...-f^{(n-1)}(0)$
时域微分性质（双边）：$\displaystyle \mathscr{L}(f'(t))=sF(s)$

s 域微分性质：$\displaystyle \mathscr{L}(t^nf(t))=(-1)^nF^{(n)}(s)$

积分性质：$\displaystyle \mathscr{L}(\int_0^t f(t)dt)=\frac{1}{s}F(s)$

象函数的积分性质：$\displaystyle \int_s^{\infty}F(s)ds=\mathscr{L}(\frac{f(t)}{t})$

初值定理：f(t)在[0,+∞]可微，则$\displaystyle f(0)=lim_{s\to\infty}sF(s)$ （若存在）

终值定理：若 sF(s)在 Re(s)≥0 的区域解析，$\displaystyle f(\infty)=lim_{s\to 0}sF(s)$

inverse Laplace transform：$\displaystyle f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}F(s)e^{st}ds=\Sigma Res[F(s)e^{st},s_k], \ s_k$ is to the left of Re(s)=β

卷积性质：收敛域至少为两个收敛域的交

卷积

傅氏卷积：$\displaystyle f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$   （收敛）

拉氏卷积：$\displaystyle f_1(t)*f_2(t) = \int_{0}^{t}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\ \Leftarrow\ when\ \ t<0,f_1(t)=f_2(t)=0$

卷积满足：交换律，结合律，分配率

（时域）卷积定理：$\displaystyle F[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(w)\cdot F_2(w)$

共形映射

$\displaystyle \text{旋转角}=arg(f'(z_0)),\text{伸缩率}=|f'(z_0)|$

共形映射定义：w=f(z) 在区域内保角，且为一一映射

推论：$\displaystyle f(z)\text{解析},f'(z_0)\neq 0 \Rightarrow f(z)\text{在}z_0\text{处保角}$

对应点公式：$\displaystyle \frac{w-w_1}{w-w_2}:\frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$    其中 ∞ 替换为 1

上半平面 → 上半平面：$\displaystyle w=\frac{az+b}{cz+d},ad-bc>0$

上半平面 → 单位圆：$\displaystyle w=e^{i\theta}(\frac{z-\lambda}{z-\bar{\lambda}})$

特别的，$\displaystyle w=\frac{z-i}{z+i}$

单位圆 → 单位圆：$\displaystyle w=e^{i\varphi}(\frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}),|\alpha|<1$

带形区域 → 角形区域：$\displaystyle w=e^z$ , 0<Imz<a(0<a<2pi) → 0<arg w<a