大学物理

2022年11月5日大约 5 分钟

大学物理

电学

常量：

e = 1.6×10^-19C

$\displaystyle \varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\ C^2/N\cdot m^2$

真空磁导率： $\displaystyle \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ T\cdot m/A$

场强

高斯定理： $\displaystyle \phi = \frac{Q} {\varepsilon_0}$

无限长直导线场强： $\displaystyle E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$

无限大平面场强： $\displaystyle E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

均匀带电球体场强： $\displaystyle E = \begin{cases}\frac{qr}{4\pi\varepsilon_0R^3} & r<R \\ \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2} & r\geq R\end{cases}$

均匀带电圆环对轴线上一点的场强： $\displaystyle E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx}{{(x^2+R^2)}^{3/2}}$

电容

平行板电容器： $\displaystyle C = \frac{\varepsilon_0S}{d}=\frac{Q}{U}$

同心球电容器： $\displaystyle C = 4\pi\varepsilon_0\frac{R_AR_B}{R_B-R_A}$ （使用电势计算）

同轴柱形电容器： $\displaystyle U_{AB} = \int_{A}^{B} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}dr = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0l}ln\frac{R_B}{R_A}\ , \ C = \frac{q}{U_{AB}}$

电容器能量： $\displaystyle W = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QU = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2$

地球电量约为 46000 C
平行板电容器带电 +Q,-Q 拉开 dx 能量变化 $\displaystyle \frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}$

电介质

相对介电常数： $\displaystyle \varepsilon_r = 1 + \chi_e = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$

极化强度矢量： $\displaystyle \vec{P} = \chi_e\varepsilon_0\vec{E}$

（极化强度矢量定义为单位体积内电偶极矩的矢量和， $\displaystyle \chi_e$ 为电极化率。）

电位移矢量： $\displaystyle \vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$

介质中的高斯定理： $\displaystyle \iint_{S}\vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum_{S\text{内}}q$ （积分符号应为环路二重积分）

有介质时，仅需把真空中的公式中 $\displaystyle \varepsilon_0$ 替换为 $\displaystyle \varepsilon_0\varepsilon_r$ 即可。

磁学

Biot-Savart law: $\displaystyle d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\vec{l} \times \vec{e_r}}{r^2},\ dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\alpha}{r^2}$

载流直导线产生的磁场： $\displaystyle B = \begin{cases}\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos \theta_1 - cos\theta_2) & \text{有限长} \\ B = \frac{\mu_0I}{2\pi a} & \text{无限长}\end{cases}\ \ \ a:\text{距离} \ \ \theta:<\vec{I},\vec{r}> \ \ \vec{I}:1 \to 2$

载流圆线圈轴线磁场： $\displaystyle B = \frac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ 方向由右手定则确定。

密绕螺线管磁场： $\displaystyle B = \begin{cases}\frac{\mu_0nI}{2}(cos\beta_2-cos\beta_1) & \text{有限长} \\ \mu_0nI & \text{无限长}\end{cases}$ $\displaystyle n=N/L:\text{匝密度} \ \ \ \beta:<\vec{B},\vec{r}> \ \ \ \vec{r}$ 指向螺线管表面两端

Ampère's circuital law: $\displaystyle \oint_{L}\vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0\sum_{L\text{内}}I$

无限长圆柱均匀载流导体磁场： $\displaystyle B = \begin{cases}\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2} & r < R \\ \frac{\mu_0I}{2\pi r} & r > R\end{cases}$

磁矩： $\displaystyle \mu_0 = IS$ ，S:回路面积，方向：右手定则

磁场能量： $\displaystyle W_m=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}BHV$ 能量密度： $\displaystyle w_m=W_m/V$

磁场力

电流元受力（安培定律变形）： $\displaystyle d\vec{F} = Id\vec{l}\times \vec{B}$

洛伦兹力： $\displaystyle F=q\vec{v}\times \vec{B}$ 圆周运动半径： $\displaystyle R=\frac{mv}{qB}$

线圈磁矩： $\displaystyle m=NIS$ 所受磁力矩： $\displaystyle M=\vec{m}\times \vec{B}$

磁场力做功： $\displaystyle A=I\Delta\Phi$

磁介质

磁场强度： $\displaystyle H=\frac{B}{\mu_0}-M$ , M 为磁化强度

磁介质的安培环路定律： $\displaystyle \oint H\cdot dl=\sum I$

磁化率： $\displaystyle \chi_m=\frac{M}{H}$

相对磁导率： $\displaystyle \mu_r=1+\chi_m$

$\displaystyle B=\mu_0\mu_r H$

电磁感应

法拉第电磁感应定律：感应电动势 $\displaystyle \varepsilon_i=-\frac{d\Phi_N}{dt}$

磁链： $\displaystyle \Phi_N=NΦ\text{(匝数x磁通)}=NBS$

动生电动势： $\displaystyle \varepsilon_i=\begin{cases}-Blv & \text{运动导线} \\ NBS\omega sin\omega t & \text{转动线圈}\end{cases}$

自感与互感

自感系数： $\displaystyle L=\mu_0\frac{N^2}{l}\pi R^2=\frac{\Phi_N}{I}$

互感系数： $\displaystyle M=\frac{\Phi_{21}}{I_1}=\frac{\Phi_{12}}{I_2}=k\sqrt{L_1L_2}$

光学

干涉

双缝干涉第 k 级明文距中心： $\displaystyle x = k\lambda\frac{D}{d}$

叠加光强： $\displaystyle I=4I_0cos^2\frac{\Delta\phi}{2} \ \ \ I_0$ 为每个波分别照射的光强。

相位差与光程差： $\displaystyle \Delta\phi=\frac{2\pi\delta}{\lambda}$

等倾薄膜干涉（n1<n2>n1）： $\displaystyle \delta=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2i}+\frac\lambda 2=\begin{cases}k\lambda&\text{加强}\\ (2k+1)\frac\lambda 2 & \text{减弱}\end{cases}$

牛顿环条纹半径： $\displaystyle r=\sqrt{(\delta-\frac\lambda 2)R}$

牛顿环条纹间距： $\displaystyle \Delta r=(\sqrt{k+1}-\sqrt k)\sqrt{R\lambda}$

增透膜满足干涉相消： $\displaystyle d=\frac{\lambda}{4n}$

衍射

(Fraunhofer) 单缝衍射公式： $\displaystyle \delta=asin\theta=a\frac{x}{f}=\begin{cases}\pm k\lambda & \text{暗纹} \\ \in -(\lambda,\lambda) & \text{中央明纹} \\ \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} & \text{其余明纹}\end{cases} \ \ \ k = 1,2,3...$